ご質問の順序を変えて説明させていただきます。
・最終的に、何月何日まで今の家に住めるのか（７月２６日まで住めるのか？）
→契約期間満了のＨ２９／８／６まで住めます。
・賃貸会社に更新はしない旨を伝える月はいつがいいのか
→更新はしない＝賃貸借契約の解約となります。契約書に書いてある解約の手続きに沿って貸主に通知します。（何ヶ月前までに通知すると書いてあるところです。）期間内の解約が８／５の解約でも解約金が発生する場合８／６を契約解約日になるように通知して下さい。
・家賃を二重支払いせずに、解約金を払わずに済む引っ越しタイミング。
→契約解約日までに引越しを行えば良いと思います。家賃が自動引落の場合は一度、全額引き落とされてしまいますが、清算で日割分は戻ってきます。振込や持参されている場合は貸主に日割の支払いが可能か確認して下さい。
ぴっぴ様が言われている二重支払いの意味が自動引落で日割で返金される金額も含めたものとすると、解約金か家賃の二重支払いかどちらかを妥協する必要があると思います。
