家具の処分ということになると、それは負担しなければならないです。理由は取り壊すことと家具の処分は別物だからです。一挙に潰してまとめてゴミにする訳ではなく家具は分けて捨てなければならないのです。
でも、今回の話しは別の部分があります。
大家さんが必要な修繕を行わなかったということです。もし、お母様がご自身で費用を負担して何か直したことがあったのなら全額大家に請求できます。また、不具合で使えなかった部分がある場合は家賃から、使用収益出来なかった分として返還も請求できます。
先にあったとおりで、家具の処分代は個人で負担すべきですが、大家からも返すべき費用があると思われますので、家具の処分費は返還分から相殺するように求めるなどするとよいでしょう。