相談先は管理会社ないし家主となるかと思います。
古いアパートとのことですので、キクイムシと特定出来ている場合に限定されますが、件の虫は通常ですと自然発生は稀な昆虫です。
ただ、お住まいが山野に近かったり、近隣に製材所があったりすれば別のお話です。
一般的にはリフォーム時に使用した建材に混入していたり、転居時の家具に混入していた等が多い発生原因と言われます。
そのため、原因特定が難しく、費用負担面においては貸主負担で駆除、予防を行うことが適切と考えれば、貸主サイドへの報告と相談の対応となるかと思います。
ご自身で駆除を行う場合でも、害虫駆除剤を用いる事になるかと思いますが、駆除後、散布位置においては経年変化で変色の可能性などもありますので、念のため貸主サイドに一報入れておくべきでしょう。