退去予定日の変更は可能ですか？？

対処方法としては、素直に貸主や管理会社へ申し出て、お願いをしてみるのが手始めです。ただ、次の入居者も決まっているようなので、遅れる事を許可されない場合も有ります。こんな時は、質問に有るように、マンスリー物件等を利用するより他無いでしょう。
上記の際の費用負担ですが、引越し先の大家さんへ請求する事は可能です。しかし、その大家さんに必ず支払い義務が発生するとは限りません。これは、次に借りる部屋に対する現状の契約状態により決まります。完全に契約が締結されており、その物件の引き渡し日(履行日)が定められているのなら、履行遅滞による損害賠償として、大家さんに支払い義務が発生しますが、大概の場合、部屋が空くまでにその部屋の契約を締結する事はありません。これを理解した上で、請求してみてください。

新たに契約するお部屋の契約書を改めて見直してみましょう。契約の始期はいつになっていますか。
当たり前ですが、契約の始期日より契約は始まります。その日から質問者様は新しいお部屋を使用する権利があるわけです。
今回そのお部屋の前入居者の退去が遅れたとのことですが、質問者様の契約始期日に前入居者が退去する日が重なっていないでしょうか。
重なっていれば重なった日数だけ、引越し先の大家さんにマンスリーなどでかかった費用全額を請求できます。というのも大家さんには契約の始期日から質問者様にその新しいお部屋を貸す義務があるからです。その義務を履行できなかったのですから、その分だけ質問者様に埋め合わせをする必要があるというわけです。

もし、重なっていない場合、大家さんはまだ質問者様にお部屋を貸す義務があるわけではありません。貸す義務がまだ発生していないので、この期間にかかったマンスリーなどの費用は全て質問者様の自腹となってしまいます。
この場合、質問者様が今住んでいるお部屋の大家さんに退去日をずらしてもらえないか相談しみましょう。大丈夫ならギリギリまで今のお部屋にいることができます。

このように退去に際して住む場所がなくなる危険がある為、そのリスクを減らす為にも契約の期間について前のお部屋と新しいお部屋の契約期間はある程度かぶらせておいたほうがよいでしょう。（但しかぶらせすぎると損をしてしまいますが。）