エアコンが壊れたようです。すぐに修理してもらえるのでしょうか？

大家さんが直接管理している物件であれば大家さんに、管理会社がある場合はそちらに修理をお願いして下さい。入居者が直接手配してしまうと大家さんの側では状況が把握できませんので「必要ない修理を勝手にやったのだから修理代は払わない」ということにもなりかねません。大家さんの許可がある場合は別ですが、それ以外では控えた方が賢明でしょう。
なお修理までに要する時間ですが、これは実際に修理を行う業者の状況によってまちまちです。たまたま手が空いていれば当日対応も可能ですし、工事が立て込んでいれば1週間近く待たされることもあります。寒い時期にご不便をお掛けする形にはなりますが、対応が終わるまで今しばらくご辛抱願えればと存じます。