三月に引越しなので契約日を延ばして欲しい！

以前も書いたことがありますが、家賃の支払いを待ってもらえるのは通常申し込みから２週間程度、最長で１ヶ月ほどです。今回の事例でも１月から家賃発生と言われている以上、３月からお願いしたいと交渉しても難しいかと存じます。
費用負担を抑えつつ早めにお部屋探しをされるなら「３月からの家賃発生でも大丈夫」等の条件が明示されたお部屋に限定して調べられた方がいいでしょう。