退去時にエアコンを引き取りたいのですが… -賃貸 博士-

突然すみません。現在都内の賃貸物件（3年くらい）を借りていますが、この度退去することになりました。
退去に関しての質問ですが、入居時に「（20年くらいの）古いエアコンでしたので変えてほしい」と言ったところ、大家さんは、「使えるなら使ったほしい」ということで、不動産会社に連絡したところ、その不動産会社は私と大家さんの板挟みになってしまったので、古いエアコンを撤去して、私に１０万円程を渡して、「好きなエアコンを購入して備え付けてください。足りない部分は申し訳ないですが支払ってください。」と言われました。
この度退去する際に、不動産会社さんから「エアコンは置いていってほしい」と言われました。契約書に書いていないと伝えましたが不動産会社によると、「そちらのエアコンを特別贈与したというわけでもないので。」と言われました。
私としては、エアコンを持っていきたいのですが、実際にほとんどのお金を払ったのは不動産会社さんでその金額は伝えておらず、保証券も私が紛失してしまったかもしれないので残っていません。
この場合はエアコンはどちらの所有になるんでしょうか。出来れば法的根拠等解決策がありましたら教えてほしいです。