自分で何かやると、その責任は入居者であるあなたにかかってきてしまうので、止めましょう。
カビを放置するのでは、その大家も管理会社も賃貸業としての定をなしていません。厳しく対応したほうがよいです。
さて、どうしたらよいかですが、医者に行って「部屋がカビ臭くて気分が悪い。」として診察してもらい診断書を貰ってください。
そうしたら、そのコピーを大家と管理会社に対して送り「健康被害が出たので治療費と瑕疵部分の修繕をしろ」と要求してください。なお、事前に相談してあることも記録として残し、それについても言及して早急の対処を求めるとよいでしょう。そうすれば、大家側でどうにかしてくれます。
また、治療費などとは別に診断書費用ぐらいは慰謝料としてもらえると思います。