先ずは契約書の支払いに関する項目を確認してください。
そこに、支払いは管理会社の請求があってから支払うなどの記載はありますか?
通常は「毎月〇日までに翌月分を支払う。」などの記載になっていますが、そうなっていませんか?
質問にも答えます。
(1)管理会社が家賃を取集していて、保証会社などを利用していないのならばあなたの信用情報にキズが付くということはありません。
(2)ないです。管理会社は大家から委託されて家賃を収集しているに過ぎないです。
家賃において、請求書が発行されることは特別な契約がなければないので、どのような契約になっているかを再度確認してください。